\textbf{Aufgabe:}

Bestimmen sie die Inverse der Matrix
$
\begin{pmatrix}
  1 & 1 & 1\\
  1 & 1 & 0\\
  1 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}
mod 2
$

\textbf{Lösung:}

Wir benutzen das Gauss-Jordan-Verfahren zum Lösen. Erlaubt sind Zeilenvertauschungen, \\Zeilenaddition/-Subtraktion und Multiplikationen.

Generell gilt, dass wir zunächst die Determinante $det A mod 2$ bestimmen sollten,
um zu schauen ob die Matrix überhaupt eine Inverse besitzt. Wir gehen davon aus, 
dass sie eine hat, da die Aufgabe lediglich die Berechnung der Inversen fordert.
Falls man die Determinante bestimmt, muss das Ergebnis $det A \ne 0 mod 2$ sein. 
Ansonsten hat die Matrix keine Inverse. In dem Fall ist das Ergebnis $det A = -1 \equiv 1 mod 2$.

Wir schreiben die Matrix A links und rechts die Einheitsmatrix hin und beginnen mit den Operationen. 
Ziel ist es links die Einheitsmatrix durch Umformungen zu generieren. Jede Operation wirkt sich gleichzeitig auf die rechte Matrix aus. 
Wenn eine Einheitsmatrix links steht, kann man rechts die Inverse ablesen.
\begin{center}
$
\left(
 \begin{matrix}
  1 & 1 & 1\\
  1 & 1 & 0\\
  1 & 0 & 0\\
 \end{matrix}
 \left|
  \begin{matrix}
  1 & 0 & 0\\
  0 & 1 & 0\\
  0 & 0 & 1\\
  \end{matrix}
 \right)
\right.
mod 2
$

Zeile 3 von Zeile 2 subtrahieren:

$
\left(
 \begin{matrix}
  1 & 1 & 1\\
  0 & 1 & 0\\
  1 & 0 & 0\\
 \end{matrix}
 \left|
  \begin{matrix}
  1 & 0 & 0\\
  0 & 1 & -1\\
  0 & 0 & 1\\
  \end{matrix}
 \right)
\right.
mod 2
$

Zeile 1 von Zeile 3 subtrahieren:

$
\left(
 \begin{matrix}
  1 & 1 & 1\\
  0 & 1 & 0\\
  0 & -1 & -1\\
 \end{matrix}
 \left|
  \begin{matrix}
  1 & 0 & 0\\
  0 & 1 & -1\\
  -1 & 0 & 1\\
  \end{matrix}
 \right)
\right.
mod 2
$

Zeile 2 zu Zeile 3 addieren:

$
\left(
 \begin{matrix}
  1 & 1 & 1\\
  0 & 1 & 0\\
  0 & 0 & -1\\
 \end{matrix}
 \left|
  \begin{matrix}
  1 & 0 & 0\\
  0 & 1 & -1\\
  -1 & 1 & 0\\
  \end{matrix}
 \right)
\right.
mod 2
$

Zeile 3 zu Zeile 1 addieren:

$
\left(
 \begin{matrix}
  1 & 1 & 0\\
  0 & 1 & 0\\
  0 & 0 & -1\\
 \end{matrix}
 \left|
  \begin{matrix}
  0 & 1 & 0\\
  0 & 1 & -1\\
  -1 & 1 & 0\\
  \end{matrix}
 \right)
\right.
mod 2
$

Zeile 2 von Zeile 1 subtrahieren:

$
\left(
 \begin{matrix}
  1 & 0 & 0\\
  0 & 1 & 0\\
  0 & 0 & -1\\
 \end{matrix}
 \left|
  \begin{matrix}
  0 & 0 & -1\\
  0 & 1 & -1\\
  -1 & 1 & 0\\
  \end{matrix}
 \right)
\right.
mod 2
$

Matrix schöner aussehen lassen und negative Zahlen positiv machen, da wir uns im Zahlenraum $mod 2$ bewegen:

$
\left(
 \begin{matrix}
  1 & 0 & 0\\
  0 & 1 & 0\\
  0 & 0 & 1\\
 \end{matrix}
 \left|
  \begin{matrix}
  0 & 0 & 1\\
  0 & 1 & 1\\
  1 & 1 & 0\\
  \end{matrix}
 \right)
\right.
mod 2
$

Damit ist die Inverse ablesbar:

$
A' = \overline A = A^{-1} =
\left(
  \begin{matrix}
  0 & 0 & 1\\
  0 & 1 & 1\\
  1 & 1 & 0\\
  \end{matrix}
\right)
mod 2
$
\end{center}